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Jeudi 28-03-2024  Citations à méditer
  Le plus grand ennemi de la vérité n'est pas le mensonge, mais ce sont les certitudes.    Nietsche  

Formulaire des Limites

Chapitres

Limites de fonctions usuelles
Limites données par le taux d'accroissement
Comparaison de fonctions

Limites de fonctions usuelles

Puissances de x : pour n>0

Fonction f(x) Limite recherchée Valeur de la limite
xn lim f(x) quand x => + ∞ + ∞
x-n lim f(x) quand x => + ∞ 0
lim f(x) quand x => 0+ + ∞
Illustration graphique :

Exponentielle

Fonction f(x) Limite recherchée Valeur de la limite
ex lim f(x) quand x => + ∞ + ∞
lim f(x) quand x => - ∞ 0
e-x lim f(x) quand x => + ∞ 0
lim f(x) quand x => - ∞ + ∞
Illustration graphique :

Logarithme

Fonction f(x) Limite recherchée Valeur de la limite
ln(x) lim f(x) quand x => 0 - ∞
lim f(x) quand x => + ∞ + ∞
Illustration graphique :

Limites données par le taux d'accroissement

Fonction f(x) Limite recherchée Valeur de la limite
sin(x) / x lim f(x) quand x => 0 1
Illustration graphique :

ln(1+x) / x lim f(x) quand x => 0 1
Illustration graphique :

ex-1 / x lim f(x) quand x => 0 1
Illustration graphique :

1 - cos(x) / x2 lim f(x) quand x => 0 1/2
Illustration graphique :

Comparaison de fonctions

En ce qui concerne la croissance comparée des fonctions, il faut retenir qu'en + ∞ :

* Les exponentielles sont plus fortes que n'importe quel puissance de x.
* N'importe quelle puissance positive de x est plus forte que n'importe quel puissance du logarithme.

D'où :

Fonction f(x) Limite recherchée Valeur de la limite
(ln(x))a / xα
a ∈ IR & α > 0
lim f(x) quand x => + ∞ 0
Illustration graphique :

exx / xα
α ∈ IR
lim f(x) quand x => + ∞ + ∞
Illustration graphique :


On résume en général ce qui se passe par l'échelle de comparaison suivante :


tout en remarquant que si f est à droite de g alors on a :


En fin si on veut savoir ce qui se passe en 0, ou en - ∞, on peut procéder par un changement de variables du type Y=1/x ou Y=-x qui permet dans tous les cas de se ramener au cas de + ∞.

Exemples et illustrations graphiques

Exemple -1-
Graphique à gauche : √ln(x), ln(x), ln(x)5
Graphique à droite : ln(x)/√ln(x), ln(x)5/ln(x), ln(x)5/√ln(x)

      
Exemple -2-
Graphique à gauche : √x, x, x5
Graphique à droite : x/√x, x5/x, x5/√x

      
Exemple -3-
Graphique à gauche : 2x, ex, 5x
Graphique à droite : ex/2x, 5x/2x, 5x/ex

      




NB :
Pour plus d'informations sur les limites et surtout sur les opérations sur les limtes consultez le document suivant :

OPERATIONS SUR LES LIMITES