IDENTITES REMARQUABLES

Présentation

Les trois identités remarquables du second degré sont :

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

(a-b)(a+b) = a² - b²

Remarques:

1/ Les trois expressions (a+b)², (a-b)², (a-b)(a+b) sont appelées produits remarquables

2/ Les trois expressions a² + 2ab + b², a² - 2ab + b², a² - b² sont appelées sommes remarquables

Nb: a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes

Exemples

Développement et réduction

On peut se servir des identités remarquables pour transformer l'écriture des expressions algébriques, à titre d'application on va utiliser l'expression suivante:

E = (3x + 2)² + (-5x +3)(4 - x)

Il y'à lieu de remarquer que E est la somme de deux entités:

E1 = (3x + 2)²
et
E2 = (-5x +3)(4 - x)

E1 = (3x + 2)² = (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = 9x² + 12x + 4

E2 = (-5x +3)(4 - x) = -20x + 12 + 5x² -3x = 5x² - 23x + 12

E = 9x² + 12x + 4 + 5x² - 23x + 12

E = 14x² - 11x + 16

Equation du second degré

L'une des utilisations possible des identités remarquables est la résolution des équations du second degré, illustrons cette possibilité par l'exemple suivant:
Soit l'équation de second degré à résoudre:

(A) x² + 2x - 4 = 0

Le principe est d'agir sur la constante de l'expression de telle façon qu'on peut la réecrire sous une forme permettent l'utilisation des identités remarquables.

En remplaçant (-4) par (1 - 5) notre équation (A) s'écrirait comme suit

(A) x² + 2x - 4 = x² + 2x + 1 - 5 = (x + 1)² - 5 = (x + 1)² - (√5)² = 0

On remarque que (A) est devenue sous la forme

a² - b²

Utilisons cet identité remarquable pour reécrire (A)

(A) x² + 2x - 4 = (x + 1)² - (√5)² = [(x + 1) - √5][(x + 1) + √5] = 0

D'où les solutions de (A)

(A) = 0 => [(x + 1) - √5] = 0 ou [(x + 1) + √5] = 0

[(x + 1) - √5] = 0 => x1 = - 1 + √5

[(x + 1) + √5] = 0 => x2 = - 1 - √5