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Vendredi 23-10-2020  Citations à méditer
  Les nombres gouvernent le mondes.    Pytagore De Samos  
 
 
 
 

Nombres Complexes

Questions

NCQ01 Comment démontrer que deux nombres complexes sont égaux

NCQ02 Comment démontrer que deux vecteurs U et V sont colinéaires

NCQ03 Comment démontrer que deux vecteurs sont perpendiculaires

NCQ04 Comment démontrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur

NCQ05 Comment démontrer qu’un nombre complexe est réel

NCQ06 Comment interpréter géométriquement le rapport (Zb - Zc)/(Za - Zc)
Za, Zb, Zc sont les affixes respectives des points A, B & C

NCQ07 Comment interpréter géométriquement la différence de deux nombres complexes Za & Zb qui sont les affixes des points A & B

NCQ08 Comment écrire les transformations, translation, homothétie et rotation sous la forme complexe

NCQ09 Comment démontrer qu’une transformation Z’=aZ+b est une rotation ou homothétie

Réponses

NCR01 On montre qu’ils ont les mêmes parties réelle et imaginaire ou encore on montre que leurs modules et leurs arguments modulo 2pi sont égaux

NCR02 On montre que la partie imaginaire du nombre complexe est nul ou encore on montre que Z = Z ou encore on montre que son argument est égale à 0 modulo pi

NCR03 On montre que la partie réelle du nombre complexe est nule ou encore on montre que Z = -Z ou encore on montre que son argument est égale à pi/2 ou – pi/2 modulo pi

NCR04 On montre que [aff(AB) / aff(CD)] est imaginaire pur ou encore on montre que AB . CD = 0 ou encore on montre que l’Arg[(Zd-Zc) /(Zb-Za)] est égale à pi/2 ou – pi/2

NCR05 On montre que [aff(AB) / aff(CD)] est un réel ou encore on montre que det (AB,CD) = 0 ou encore on montre que l’Arg[(Zd-Zc) /(Zb-Za)] est égale à 0 ou pi

NCR06 Zb-Za = Zab ; |Zab| = AB ; Arg(Zab) = ( u, AB ) (2pi)

NCR07 | (Zb-Zc) / (Za-Zc) |= (CB/CA); Arg[(Zb-Zc) / (Za-Zc)] = ( CA , CB)

NCR08 Pour tout point M d’affixe Z M(Z) on obtient par la transformation le point M’ d’affixe Z’ M’(Z’), la forme complexe de la transformation est comme suit : Translation tu Z’ = Z + b b étant l’affixe de u Homothétie h( o, k ) Z’ = kZ + b avec Zo = b/(1-k) Rotation r( o , a ) Z’ = Ez + b avec Za = b/(1-e)

NCR09 * Si a appartient à R - {0,1}, la transformation est un Homothétie de rapport a et de centre O d’affixe b/(1-a)
* Si a = e , la transformation est une rotation d’angle O et de centre O d’affixe b/(1-b)

Isométries du plans

Questions

Réponses

Similitudes

Questions

Réponses

Coniques

Questions

Réponses

Géométrie dans l'espace

Questions

Réponses

Divisibilité dans Z

Questions

DDZQ01 Comment calculer le reste dans la division euclidienne an par b ?

DDZQ02 Comment on montre que b divise a ?

Réponses

DDZR01 On détermine le reste r de a par b et on cherche un entier p tel que ap 1 [b] si p existe on utilise ensuite les propriétés des puissances et de congruences.

DDZR02 - Soit a = b q
- Où on trouve a + alphab est divisible par b
- Ou a = 0[b]

Identité de Bézout

Questions

I2BQ01 Comment montrer que deux entiers relatifs sont premiers entre eux ?

I2BQ02 Comment résoudre l’équation diophantienne (E) de la forme ax + by = c ?

Réponses

I2BR01 - On utilise le théorème de Bézout en déterminant deux entiers relatifs u et v tel que au + bv = 1
- Où on montre que les décompositions en facteurs premiers de a et b n’ont aucun facteur premier commun.
- Où on montre PGCG(a,b) = 1

I2BR02 a) On cherche une solutions particulière (x0,y0) de E.
b) On écrit l’équation
ax + by = ax0 + by0 => a(x-x0) + b(y-y0) = 0 => a(x-x0) = -b(y-y0)
c) On résoud cette dernière équation en utilisant le théorème de Gauss.

Probabilités

Questions

PRBQ01 Utilisation d’une loi binomiale

PRBQ02 Calculer la probabilité d’un intervalle par une loi continue

PRBQ03 Examiner si une fonction numérique f définie sur un intervalle est une densité de probabilité

Réponses

PRBR01 - On repère la répétition d’une expression suivant une loi de Bernoulli.
- On modélise la situation à l’aide d’un arbre ou d’un diagramme.

PRBR02 On intègre la densité de cette loi entre les bornes adéquates.

PRBR03 On vérifie trois conditions :
1 - continuité de f sur I
2 - Positivité de f sur I
3 - L’intégrale de f sur I est égale à 1.
Nb : si I n’est pas borné, c’est une limite qu’il faut calculer.

Statistiques

Questions

STTQ01 Comment retrouver la droite d’ajustement linaires ?

STTQ02 Comment estimer la valeur de la variable y pour une valeur x0 lors d’ajustement linéaires (ou X pour une valeur Y0) ?

STTQ03 Comment on peut savoir que les prévisions sont convenables ?

Réponses

STTR01 a) Méthode de Mayer on divise le tableau en deux parties on calcule pour la 1ère partie, et pour la 2ème partie.
La droite de Moyer est la droite d’ajustement c’est (G1, G2) avec
b) Méthode de Moindre carré :

STTR02 Une estimation de la valeur y est Y0 = a x0 + b

STTR03 On calcule le coefficient de corrélation
Si |r| est proche de 1 (|r| >= 0,86), on dit que les prévisions sont convenables.

Continuité et limites

Questions

CTLQ01 Déterminer la limite d’une fonction f en a réel ou infini.

CTLQ02 Justifier qu’une équation f(x) = k admet au moins une solution sur [a,b]

CTLQ03 Dénombrer les solutions d’une équation f(x) = k

Réponses

CTLR01 On peut essayer dans l’ordre.
* on utilise les règles opératoires relatives aux sommes, produit, quotient, ou théorème des fonctions composées ou théorème polynôme ou rationnelles à l’infini ou les limites usuelles trigonométriques.
* Si on a toujours F une indéterminée on cherche à transformer l’écriture de f en factorisant et en simplifiant.
* S’il y a des racines carrées on peut utiliser l’expression conjuguée.
* Si o a la forme 0/0 on peut utiliser le nombre dérivé.
* On utilise les théorèmes de comparaisons.

CTLR02 On peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Si f est strictement monotone la solution est unique.

CTLR03 Dans certains cas particulier on peut résoudre (second degré)

Suites réelles

Questions

STRQ01 Comment étudier la monotonie d’une suite ?

STRQ02 Comment montrer qu’une suite est majorée par M, minorée par m, bornée ?

STRQ03 Comment étudier la convergence d'une suite U ?

STRQ03 Comment calculer la limite l d'une suite convergente définie par f(Un) = Un+1
Nb: f est continue sur I et Un ∈ I

Réponses

STRR01 - Etudier le signe Un+1 – Un
ou
- Si Un = f(n), étudier le sens de variation de f sur [0,+∞[
ou
- Si tous les termes sont positifs strictement on compare [Un+1 / Un] et 1
ou
- Utiliser un raisonnement par récurrence.

STRR02 - Etudier le signe Un+1 – M
ou
- Si Un = f(n), étudier le sens de variation de f sur [0,+∞[
ou
- Utiliser un raisonnement par récurrence.

STRR03 On ne connait pas une suite usuelle... ou
- On applique le théorème des encadrements. ou
- On applique le théorème de convergence des suites monotones si les hypothèses le permettent.
ou
- On applique le théorème de convergence des suites adjacentes.

STRR04 - Si f est convergente vers l alors f( l ) = l.
- Si U est minorée par m alors l ≥ m.
- Si U est majorée par M alors l ≤ M.
- On choisi la solution l de l'équation f(x) = x qui convient.

Dérivabilité

Questions

DRVQ01 Comment calculer une limite à l’aide de la dérivée ?

DRVQ02 Comment étudier la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle I ?

Réponses

DRVR02 Si f est dérivable en a alors

DRVR02 On applique le théorème de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée.
Pour les valeurs a où aucun de ces théorèmes ne permet de conclure, on utilise

Fonctions réciproques

Questions

FRCQ01 Comment déterminer le domaine de dérivabilité de f -1 ?

FRCQ02 Comment déterminer la dérivabilité de f -1 en y0 ?

FRCQ03 Si f n'est pas dérivable en x0 peut-on conclure que f -1 n'est pas dérivable en y0 ?

Réponses

FRCR01 - Si f dérivable sur I et f'(x) ≠ 0, alors f -1 est dérivable sur J = f(I).
- Si f dérivable sur I et f'(x) = 0 ⇔ x = x1 ou x2 ou ... xn, alors f -1 est dérivable sur f(I) - {f(x1), f(x2) à f(xn)})

FRCR02 On calcul x0 tel quez f(x0) = y0 puis

Ainsi si f est dérivable en x0 alors

Si f'(x0) = 0
Alors f -1 n'est pas dérivable en y0

Si
donc (f -1)'(y0) = 0

FRCR03 Si f n'est pas dérivable en x0 on ne peut pas conclure que f -1 n'est pas dérivable en y0

Primitives

Questions

PTVQ01 Comment déterminer une primitive d’une fonction sur l’intervalle I ?

PTVQ02 Comment déterminer toutes les primitives d’une fonction f sur une intervalle I ?

PTVQ02 Comment déterminer l’unique primitive F0 d’une fonction f sur I telle que F0(x0)=Y0 ?

Réponses

PTVR01 On commence par justifier son existence en s’assurant que f est continue sur I puis on cherche à reconnaître une formule de dérivation.

PTVR02 On trouve une puis o n ajoute une constance arbitraire.

PTVR03 - On trouve une primitive F de g sur I.
- On écrit F0 sous la forme F0(x) = F(x) + k ou k ∈ IR.
- On calcule la constante k pour que F(x0) = y0 soit vérifiée.

Intégrales

Questions

INTQ01 Comment déterminer le signe de l’intégrale

?

INTQ02 Comment déterminer une primitive de f sur I pour calculer une intégrale ?

INTQ03 Comment comparer deux intégrales

et

?

INTQ04 Comment calculer (A) l’aire du domaine limité par , et x = a et x = b.

Réponses

INTR01 Etudier le signe de g sur l’intervalle de bornes a, b et n’oublier pas les bornes (Exp : g(x) ≥ 0 et b < a =>

INTR02 1) On connaît la dérivée d’une fonction usuelle.
2) Où on connait une formule usuelle de dérivation (somme, produit, comparée,…)
3) Où la méthode d’intégrale par parties.

INTR03 On compare f et g sur [a, b] puis ajoute l’intégrale.

INTR04 A

Si f – g est positif sur [a, b]
alors A

Si f – g change de signe
A = somme des aires algébriques des domaines définie à partir des intervalles sur lesquels f – g garde un signe constant.

Fonction logarithme népérien

Questions

FLNQ01 Comment retrouver les propriétés de la fonction logarithmes à partir de sa courbe représentative ?

FLNQ02 Comment résoudre une équation ou une inéquation comportant des logarithmes ?

FLNQ03 Comment étudier la dérivabilité de Log(u(x)) sur un intervalle I ?

FLNQ04 Comment calculer une limite en + ∞

Réponses

FLNR01

FLNR02 1) On détermine l’ensemble des réels pour lesquels les pressions sont définies.
2) On se ramène lorsque c’est possible à la forme Log(u(x)) = Log(v(x))
(où Log(u(x)) ≥ Log(v(x))) puis on résout u(x) = v(x) (où u(x) ≥ v(x))
3) Si on a des x et des Log x on utilise les variations d’une fonction.

FLNR03 1) Vérifier que u(x) > 0 sur I.
2) On justifie la dérivabilité de u sur I
3) On utilise le théorème

FLNR04 1) On examine si on se trouve dans une situation de forme indéterminée.
2) Si oui, on tente la factorisation pour se ramener à



sinon on factorise à l’intérieur de l’écriture de Log

Exemple :


3) On utilise les règle opérations à l’infinie xn l’emporte sur Logx.

Fonction exponentielle

Questions

FEXQ01 Comment retrouver les propriétés de la fonction logarithmes à partir de sa courbe représentative ?

FEXQ02 Comment résoudre une équation ou une inéquation dans laquelle figure des exponentielles ?

FEXQ03 Comment résoudre une équation de la forme ax = b respectivement inéquation de la forme ax > b ?

FEXQ04 Comment retrouver les propriétés de la fonction ax ? ( a > 0)

FEXQ05 Comment calculer une limite en + ∞ ?

Réponses

FEXR01

FEXR02 1) On détermine l’ensemble des réels pour lesquels les expressions sont définies.
2) On se ramène lorsque cela est possible à une équation de la forme eu(x) = ev(x)
Ou une inéquation de la forme eu(x) ≤ ev(x)
3) On résout alors l’équation U(x) = V(x) où U(x) ≤ V(x).
4) On se ramène lorsque cela est possible à des équations ou inéquations du 2ème degré ou 3ème degré.
5) Utiliser un tableau de variation d’une fonction choisie.

FEXR03 On écrit ax = exLoga et on utilise exLoga = eLogb. L’équation devient xLog a = Log b.

FEXR04 On écrit toujours ax = exLog a et on utilise les propriétés de l’exponentielle.

FEXR05 1) On examine si on se trouve dans une situation de forme indéterminée.
2) Dans ce cas on tente la factorisation pour se ramener en cas ex/xn
3) On utilise les règles opératoires suivant à l’infini exponentielle l’emporte sur xn.

Equations différentielles

Questions

EDFQ01 Comment montrer qu’une fonction f est solution d’une équation différentielle?

EDFQ02 Comment résoudre une équation différentielle de la forme y’ – ay = b (a ≠ 0) :?

EDFQ03 Comment résoudre une équation différentielle avec second membre ?

Réponses

EDFR01 Pour montrer qu’une fonction f est solution d’une équation différentielle, on montre que f est dérivable sur IR autant de fois que nécessaire, puis on calcule f ’(x) (éventuellement f ’’(x) si l’équation proposée est du second ordre) et on remplace y ’ par f ’(x) et y par f(x).
On vérifie alors qu’on obtient le second membre demandé.

EDFR02 On ramène l’équation à la forme y’ = ay + b (ou y’ = ay si b = 0).
On donne la solution générale : f(x) = keax - b/a où k ∈ IR (f(x) = keax si b = 0).
On remplace alors a et b par leur valeur.
Si l’énoncé précise une condition du type y0 = f(x0), on l’utilise pour déterminer la constante k de manière unique.

EDFR03 Pour résoudre une équation du type y ’ – ay = f où f est une fonction, on suit pas à pas la démarche donnée par l’énoncé.
- Recherche d’une solution particulière u.
- Résolution de l’équation y’ – ay = 0.
- On démontre ensuite que g est une solution de l’équation y ’ – ay = f si et seulement si g – u est une solution de y’ – ay = 0.